Well done Ang Zhi Ping from River Valley High School, Singapore for your
excellent solution to this question.
Let the binomial coefficient n!/r!(n-r)! be denoted by
æ ç
è
n r
ö ÷
ø
.
(1)
By considering powers of (1 + x) show that
n å k=0
æ ç
è
n k
ö ÷
ø
2
=
æ ç
è
2n n
ö ÷
ø
As (1 + x)n(1 + x)n = (1 + x)2n (1) , we write down the
Binomial expansion giving:
é ê
ë
n å p=0
æ ç
è
n p
ö ÷
ø
xp
ù ú
û
é ê
ë
n å q=0
æ ç
è
n q
ö ÷
ø
xq
ù ú
û
=
2n å r=0
æ ç
è
2n r
ö ÷
ø
xr.
The left hand side of the equation is
é ê
ë
æ ç
è
n
0
ö ÷
ø
+
æ ç
è
n
1
ö ÷
ø
x + ¼+
æ ç
è
n n
ö ÷
ø
xn
ù ú
û
é ê
ë
æ ç
è
n
0
ö ÷
ø
+
æ ç
è
n
1
ö ÷
ø
x + ¼+
æ ç
è
n n
ö ÷
ø
xn
ù ú
û
.
So the coefficient of xn on the left hand side of (1) is
æ ç
è
n
0
ö ÷
ø
æ ç
è
n n
ö ÷
ø
+
æ ç
è
n
1
ö ÷
ø
æ ç
è
n n-1
ö ÷
ø
+
æ ç
è
n
2
ö ÷
ø
æ ç
è
n n-2
ö ÷
ø
+ ¼+
æ ç
è
n n-1
ö ÷
ø
æ ç
è
n
1
ö ÷
ø
+
æ ç
è
n n
ö ÷
ø
æ ç
è
n
0
ö ÷
ø
.
Since
æ ç
è
n r
ö ÷
ø
=
æ ç
è
n n-r
ö ÷
ø
(2)
we see that the coefficient of xn on the left hand side of (1) is
n å k=0
æ ç
è
n k
ö ÷
ø
2
.
(3)
As the coefficient of xn on the right hand side of (1) is