John Lesieutre from State College Area High School, Pennsylvania, USA and Marcos Charalambides from Cyprus sent in excellent solutions to this problem.
Using q(x)=1 we get 2=L1+L2+L3.
Using q(x)=x we get
0=L1   æ
 ú
Ö
3
5
 
 +L3   æ
 ú
Ö
3
5
 

so L1=L3.
Using q(x)=x2 we get
2
3
 = 3L1
5
 + 3L3
5
 = 6L1
5

so
L1= 5
9
 =L3

and
L2= 8
9

.
Now if q(x)=a+b x+c x2 (that is, a general quadratic), then
ò-11 a+b x+c x2 dx=2a+ 2c
3

, and
L1 q æ
ç
ç
ç
è 		-   æ
 ú
Ö
3
5
 
 ö
÷
÷
÷
ø 		+L2 q(0)+L3 q æ
ç
ç
ç
è 		  æ
 ú
Ö
3
5
 
 ö
÷
÷
÷
ø 		= 5
9
 æ
ç
ç
ç
è 		a-b   æ
 ú
Ö
3
5
 
 + 3 c
5
 ö
÷
÷
÷
ø 		+ 8a
9
 + 5
9
 æ
ç
ç
ç
è 		a+b   æ
 ú
Ö
3
5
 
 + 3c
5
 ö
÷
÷
÷
ø 		= 10a
9
 + 8a
9
 + 2c
3
 =2a+ 2c
3

so the formula works for all quadratics.
Using the same idea as above, to check that it works for cubics, quartics and quintics, we only have to check it for x3, x4 and x5.
ò-11 x3d x = 0 and
5
9
 æ
ç
ç
ç
è 		- 3
5
   æ
 ú
Ö
3
5
 
 ö
÷
÷
÷
ø 		+ 5
9
 æ
ç
ç
ç
è 		3
5
   æ
 ú
Ö
3
5
 
 ö
÷
÷
÷
ø 		=0

.

ò-11 x4d x= 2
5

and
5
9
 æ
ç
è 		9
25
 ö
÷
ø 		+ 5
9
 æ
ç
è 		9
25
 ö
÷
ø 		= 2
5

.
ò-11 x5d x=0 and
5
9
 æ
ç
ç
ç
è 		- 9
25
   æ
 ú
Ö
3
5
 
 ö
÷
÷
÷
ø 		+ 5
9
 æ
ç
ç
ç
è 		- 9
25
   æ
 ú
Ö
3
5
 
 ö
÷
÷
÷
ø 		=0

.

ò-11 x6d x= 2
7

but
5
9
 æ
ç
è 		27
125
 ö
÷
ø 		+ 5
9
 æ
ç
è 		27
125
 ö
÷
ø 		= 6
25

.
So the formula works for cubics, quartics and quintics, but not for higher powers.