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of order 3 matrix in a Chosen Basis Mr Ruslan Pozinkevych  Faculty of Informations Technologies and Mathematics The Eastern European National University Ukraine galagut@protonmail.comCo-Author Information Pozinkevych V.Y.Head of the Department(Emeritus)Aims/ Objectives:The aim of our research is to establish relationship between linearly independent vectors and the  QUOTE   Space The means for that are going to be taken from Balanced Ternary analysis e.g. triplets with entries (-1,0,1) This is not going to be any specific vector, for instance (-1,0,1) Its going to be rather a Coordinate system with directional vectors The novelty of the proposed research lies in the fact that unlike traditional Cartesian system-vector basis our system uses more vectors But for the sake of simplicity we choose only one basis  QUOTE  One should mention here that the sequence of entries is important We have 27 different combinations of a set of three numbers therefore  QUOTE   is unique  a n d   i s   n o t   e q u i v a l e n t   t o      Q U O T E           f o r   e x a m p l e *   K e y w o r d s :   E i g e n v e c t o r ,   E i g e n v a l u e ,   T e r n a r y   B a s i s       G e n e r a l   I n f o r m a t i o n   L e t  s   s e e   h o w   t h e   p r o p o s e d   a l g o r i t h m   w o r k s   f o r   a   d e c i m a l   s y s t e m   F o r   t h e   i n t e g e r s ,   n "5M,   n     c a n   b e   e x p r e s s e d   a s   a   d e t e r m i n a n t   o f   a matrix of order 3 which in its turn can be presented as 3 rows of three component vectors  QUOTE   which can be related in terms of combination of the three parts: QUOTE   Lets take a look at an example below:The cross product of the two vectors is  QUOTE  That means that two vectors are linearly independent The next step is for us to establish a relation between a three-component vector and the determinant of a 3                                                                       E3   m a t r i x ,   w h i c h   i n   t u r n ,   i s   a n   i n t e g e r   ( n "Z )   T o   d o   s o   w e   c h a n g e   t h e   b a s i s   o f   a   v e c t o r   w e   w a n t   t o   i n v e s t i g a t e   S u p p o s e   i t   w i l l   b e      Q U O T E           v e c t o r   i n   t h e   b a s i s      Q U O T E           F o r   u s   a n   i m p o r t a n t   t h i n g   w o u l d   b e   t o   p r e s e n t   e a c h   c o m p o n e n t   o f   t h e   f o r m u l a      QUOTE  , as an algorithmFor this reason, we have to remind ourselves of some postulates of Matrix Algebra  Our interest is  QUOTE   matrix The reason for that was in the formula mentioned earlier, namely: QUOTE  The three vectors could be placed in the form of a matrix  QUOTE  The only condition is that  QUOTE   are linearly independent To obtain a matrix of three row entries representing linear independence of vectors we are going to apply our Ternary algorithm:Step 1 Make second row entries equal x,y,z :|  QUOTE  ;The matrix now should look like this:Step 2Rewrite the first row as the entry of the second rowStep 3Make the entries of the third row equal (-1,0,1) respectively:| QUOTE  Step 4The dot product of  QUOTE   should effectively replace our second raw entry by the vector  QUOTE  ;Our matrix entries now look as follows:Step 5Cross multiply the first and the second rowStep 6Now its high time to make our matrix entries equal the  d e t e r m i n a n t   " E q u a l i z e   o r   p l a c e   b o t h   e n t r i e s   o n   l e f t   a n d   r i g h t   s i d e s   o f   t h e   e q u a t i o n :          Q U O T E           S t e p   5   i s   t h e   f i n a l   s t e p   o f   t h e   s o u g h t - a f t e r   a l g o r i t h m       M a t e r i a l s   a n d   M e t h o d s   N o w   o u r   a i m   i s   t o   d e m o n s t r a t e   h o w   t h e   a l g o r i t h m   w o r k s  L e t  s   s h o w   i t   b y looking at an example below:Step 1Step 2Step 3Let the third row entry be (1,-1,0)Step 4Multiply the first by the last row entry (dot product) and make the second row resultant of this multiplication:Now matrix looks like this:Step 5Cross multiply the first and the second row:Step 6Find the dot product of  QUOTE  :The example above demonstrates how the determinant of a matrix corresponds to a chosen vector, in our case its a vector  QUOTE  *One should mention here the base chosen, of course In our case the base was  QUOTE  Results and Conclusion       What did one accomplish by developing the following algorithm?From the school curriculum in programming we know that computers operate based upon the following principle:First we input the data,then we process it and finally we receive an outputOur input data is a three component entry, a vector  QUOTE   An output is the number (in our case the determinant of a 3                             E3   m a t r i x   W h a t   i s   b e t w e e n   i s   o u r   a l g o r i t h m   t h a t   t r a n s f o r m s   a   t h r e e   c o m p o n e n t   e n t r y   e . g .   a   v e c t o r   i n t o   a   n u m b e r  T h e   a u t h o r s   e n c o u r a g e   s t u d e n t s   t o   e x p e r i m e n t   w i t h   t h e   a l g o r i t h m   c h a n g i n g   t h e   v a l u e s   o f   t h e   i n p u t   a n d   b a s i s  T h a n k   Y o u    R e l a t e d   L i t e r a t u r e    B o n a n zinga, V. (2022). Some applications of linear algebra and geometry in real life.arXiv preprint arXiv:2202.10833.Potockij, M. V. (1956). Analiticheskaja geometrija na ploskosti. Gosudarstvennoe uchebno-pedagogicheskoe izdatel'stvo Ministerstva prosveshhenija RSFSR.Dzhabrailov, A. L. (2009). Analiticheskaja geometrija na ploskosti i v prostranstve.Loomis, L. H., & Sternberg, S. (1968).Advanced calculus.Dowdy, S. M., & Wearden, S. (1983). Statistics for research.(No Title).Boas, M. L. (1999). Mathematical methods in the physical sciences.Dubovyk, V. P., & Yuryk, I. I. (2013). Vyshcha matematyka.[Higher mathematics].Navch. posib. dlia stud. vyshch. na-vch. zakl. Dolciani, M. P. (1967). Modern introductory analysis. InModern introductory analysis(pp. 660-660).Manders, K. (2006). Algebra in Roth, Faulhaber, and Descartes.Historia Mathematica,33(2), 184-209. Strang, G. (2022).Introduction to linear algebra. Wellesley-Cambridge Press. Truesdell                                                          
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